Продолжение! Начало тут.
Авиационная и ракетно-космическая техника
a, = {x,,yl,zj} - координатные столбцы вектора ускорения центра масс тела /; а, - V, = г,; г,. = {xt;yttz,} - координатный
столбец радиуса-вектора центра масс тела ;
ш« = КЛ^} и £, = {£„,£>„£;,} -угловая скорость и ускорение тела; а.1к - параметры, задающие ориентацию тел (например, углы Эйлера, направляющие косинусы); индекс "О" указывает на принадлежность параметра ЦБ. Для замыкания системы уравнений (1.1) ее необходимо дополнить уравнениями связи. Для построения уравнений связи использовались следующие типы соединений: для описания разворота на верхнем узле связи -«плоский шарнир» (1 степень свободы), для описания скольжения по поверхности ЦБ - «плоский шарнир совместно с ползуном» (2 степени свободы), при описании свободного движения связи отсутствуют (6 степеней свободы). Запишем уравнения связей, для чего выберем систему координат (СК), связанную с ЦБ, начало которой находится в шаровой опоре. Орт nv совпадает с образующей конуса ЦБ и лежит в плоскости движения соответствующего ББ, орт п. перпендикулярен конической поверхности ЦБ и также лежит в плоскости движения ББ, nv перпендикулярен п. и пЛ. (рис. 3).
Рис. 3. Система координат, связанная с ЦБ и определяющая связь между ББ и ЦБ
Уравнения, ограничивающие относительное поступательное движение, имеют
вил:
(г0/-г0и,)Х=0;
(гш-г0и,Уп„=0;
(1.2)
(Го,-Го")Ч-=0,
где г° - координатный столбец радиуса-вектора начала СК, связанной с ЦБ; r0; = A0(A~'r/0 + R, - R0) - радиус-вектор точки контакта в системе координат, связанной с ЦБ; R, - радиус-вектор центра массу-го ББ
относительно инерциальной системы координат; А;. - матрица перехода от инерциальной СК к СКу'-го ББ.
Подробнее рассчёты - в печатной версии.
АХ = Ь. (1.10)
Уравнение (1.10) - система линейных уравнений для определения неизвестных множителей X. Для использования численных методов интегрирования уравнений движения необходимо решить уравнение (1.5) и явно выразить ускорения тел системы. Время, необходимое для разрешения этой системы линейных уравнений стандартными методами (например, методом Гаусса), пропорционально третьей степени размерности матрицы А. Эффективность методов разрешения системы будет зависеть от структуры матрицы А, что, в свою очередь, определяется структурой связей механической системы. Так, например, для системы, в которой тела соединены цепочкой, матрица А будет иметь ленточную структуру, что позволит разрешить систему (1.10) за время, пропорциональное размерности матрицы. Если же тела системы присоединены к одному телу, матрица А становится матрицей общего вида и время ее разрешения увеличится.
Структура матрицы Н зависит от механической системы. Структуру самой механической системы можно представить в виде графа с вершинами - телами и связями - дугами, которые определяют соединение тел (рис. 4).
Поскольку тела рассматриваемой механической системы не образуют замкнутых цепей, то граф, определяющий структуру соединений тел, является деревом. Ацикличность графа механической системы позволяет сформировать матрицу Н таким образом, что LDLT разложение матрицы (L - нижняя треугольная матрица, D - диагональная матрица) может быть выполнено за время, пропорциональное размеру матрицы Н, и, следовательно, уравнение также может быть решено за это время.
Учитывая эту особенность, матрицу масс Н можно сформировать таким образом, при котором структура полученной матрицы позволит использовать более эффективную схему нахождения неизвестных х. Преобразование матрицы Н основано на изменении порядка следования ее блоков. Для правильного построения матрицы Н выберем в графе структуры механической системы вершину-корень, присвоив этой вершине индекс п+1 (п - количество тел, 1 - количество связей), пронумеруем оставшиеся вершины графа механической системы так, чтобы индекс "родителя", т. е. вершины, лежащей ближе к корню, был больше индекса "потомка". Далее, в соответствии с полученным порядком, построим матрицу Н.
Ускорения, получаемые в результате решения системы линейных уравнений, в дальнейшем используются для интегрирования системы дифференциальных уравнений численными методами.
Авиационная и ракетно-космическая техника
Рис. 4. Структура механической системы
Таким образом, получена математическая модель процесса отделения ББ РН типа "Союз". Использование алгоритма формирования матрицы линейных уравнений с учетом древовидной структуры системы позволило повысить эффективность решения уравнений движения - сократить время решения задачи. Полученная модель и построенное на ее основе программное обеспечение позволяют проводить моделирование не только процесса отделения ББ, но и других механических систем древовидной структуры.
Продолжение следует, по мере выпуска.
Источник - "Вестник Самарского Государственного Аэрокосмического университета имени Академика С.П. Королёва" Выпуск №1, печатная версия.
Полную версию статьи со всеми чертежами, формулами и приложениями см. в печатной версии журнала.