Чувствительность жесткости конструкции к добавлению элементов
Для того, чтобы продвинуться в понимании роли структурных и параметрических факторов в проектировании конструкций по жесткости и наметить пути решения этой задачи, рассмотрим серию специально подготовленных примеров.
В качестве исходной конструкции возьмем раму с размерами в плане 1000x2000 мм, составленную из открытых профилей типа швеллер с размерами в поперечном сечении 100x50x2 мм. Такая конструкция имеет весьма малую жесткость при действии антисимметричной нагрузки из плоскости рамы (рис. 1). Будем определять крутильную жесткость этой конструкции как отношение узловой силы к соответствующему перемещению и рассмотрим несколько эвристических вариантов ее увеличения.
Для удобства сопоставления результатов жесткость исходной конструкции принята за единицу, во всех вариантах усиления увеличение массы конструкции составляет
10 % от исходной: Am = 0,\т0 .
Рассматривались следующие варианты:
1. Увеличение толщины всей конструкции на 10%, £ = 2,2 мм.
2. Кницы в углах рамы - 8 шт., как показано на рис. 2. Размеры книц в плане выбраны из условия Am = 0,\т0 и выбора такой же
толщины листа, как и основной конструкции.
3. Зашивка в средней части длинных сторон рамы (рис. 3). Выбор протяженности зашивки, как в п. 2.
4. Зашивка в средней части коротких сторон рамы (рис. 4). Выбор протяженности зашивки, как в п. 2.
5. Установка внутри рамы замкнутого коробчатого элемента - "трубы"- 100x100 мм с толщиной стенки 8 = 0,63 мм из условия
Am = 0,1т0 (рис. 5).
6. Зашивка открытого профиля по всему контуру рамы листом с толщиной 8 = 0,38 мм из условия Am = 0,1т0 (рис. 6).
7. Установка диагональных стержневых элементов (4 шт.) с площадью поперечного сечения F=27,ll мм2 из условия Am = 0,lmo.
8. Зашивка верхней и нижней плоскостей рамы. Толщина зашивки - из условия Am = 0,\ти.
Все расчеты выполнялись по МКЭ, для моделирования использовались элементы "из-гибные пластинки" и стержни (в варианте 7).
Результаты расчетов жесткости рассмотренных конструкций и максимальных напряжений в них представлены в виде гистограмм на рис. 7. Здесь для наглядности введены "коэффициентыжесткости"и "коэффициенты прочности ", которые показывают соответственно, во сколько раз увеличилась жесткость модифицированной конструкции и во сколько раз уменьшились в ней максимальные напряжения по сравнению с исходной.
Как следует из этих результатов, простое увеличение толщины конструкции малоэффективно по сравнению с введением в конструкцию дополнительных элементов. В свою очередь, рассмотренные структурные варианты усилений дают большое разнообразие в результатах как по жесткости, так и по максимальным напряжениям.
Все это указывает на необходимость и возможность разработки методики эффективного улучшения жесткостных и прочностных свойств конструкций за счет изменения ее схемы (структуры).
Эффективные модификации конструкций
Рассмотренные примеры предложены в основном из интуитивных, эвристических соображений. За исключением первого варианта повышения жесткости конструкции путем простого увеличения толщины листа, во всех остальных вариантах делается попытка либо постановки дополнительных элементов в таких местах, где дополнительный материал будет активно включаться в общие деформации рамы (варианты 2 и 7), либо использования дополнительного материала для создания замкнутых контуров, которые, как известно из проектной практики, имеют высокую крутильную жесткость (варианты 3, 4, 5,6), либо и то и другое одновременно (вариант 8).
В вариантах 1-6 в определенной мере сделана попытка ограничить поиск технологичными вариантами - усиления выполнены из элементов с толщиной, которая сопоставима с толщиной основной конструкции, и поэтому удобны для соединения, например, сваркой.
Варианты 7 и 8 используют очень тонкие элементы, которые могут терять устойчивость, и поэтому, несмотря на свою привлекательность, представляют, в основном, академический интерес.
Рис. 1. Исходная конструкция рамы
Рис. 2. Усиление кницами
Рис. 3. Частичная зашивка длинных сторон
Рис. 4. Частичная зашивка коротких сторон
Рис. 5. Установка коробчатого элемента
Понятно, что вариантами 1-8 далеко не исчерпывается множество возможных усилений, в том числе и эффективных. Представляет интерес построить методику, которая бы сузила и облегчила поиск наиболее эффективных способов повышения жесткости конструкций путем добавления в нее новых элементов.
С этой целью определим, от чего и как зависит изменение жесткости конструкции при добавлении в нее небольшого количества дополнительного материала.
В качестве меры жесткости конструкции удобно взять ее потенциальную энергию деформаций U. При действии некоторой обобщенной силы Q в конструкции возникают обобщенные перемещения q. В примере на рис. 1 в качестве обобщенной силы выступает Р. Ей соответствует вертикальное перемещение угла рамы, которое определяет ее закручивание.
Работа внешних сил на соответствующем перемещении равна
A = -Qq = U (1)
Выводы (7) и в более общем виде (15) и (16) объясняют и оправдывают эвристическую деятельность проектантов в поисках таких мест в конструкции для усиления или установки дополнительных элементов, в которых можно ожидать работы дополнительного материала с высокими напряжениями.
"Технологию" такой умственной деятельности можно представить следующим образом. Проектант воображает деформации под нагрузкой всей конструкции в целом. (Сейчас этому воображению хорошо помогает МКЭ-моделирование). Мысленно представляет деформации и, следовательно, напряжения в отдельных элементах конструкции, в том числе и в воображаемых - дополнительных. И после этого предлагает те или иные технические решения с учетом возможности их реализации.
Ни о какой возможности полноты перебора рациональных вариантов и выборе лучшего при таком проектировании говорить, конечно, не приходится.
Попытаемся формализовать этот процесс следующим образом. Введем в рассмотрение гипотетическую трехмерную изотропную упругую среду переменной плотности р с определенной величиной удельного модуля упругости.
Следовательно, модуль упругости такого материала пропорционален его плотности
Е = рЕ (18)
и поэтому является переменным. Такой гипотетический материал был введен в рассмотрение, по-видимому, впервые в [13].
Теперь представим, что имеется конструкция, которая нуждается в улучшении. Будем называть ее основной. Присоединим к ней в технологически перспективных местах трехмерную среду переменной плотности с учетом геометрических ограничений на ее форму и расположение, то есть только в допустимой по компоновочным соображениям области автомобиля, самолета и т. п. Эту среду будем далее называть заполнитель. Будем считать, что в целом заполнитель имеет значительно меньшую жесткость, чем основная конструкция. Это можно обеспечить заданием величин р и Е . Будем также предполагать, что для моделирования заполнителя используются трехмерные конечные элементы.
вывод формул см. в печатной версии.
Этот результат можно сформулировать в виде следующей теоремы II:
"частная производная потенциачьной энергии конструкции с трехмерным заполнителем переменной плотности по массе одного из его элементов равна отношению удельной потенциальной энергии этого элемента к его плотности со знаком минус".
Опираясь на этот результат, процедуру поиска перспективных мест для размещения дополнительных силовых элементов в трехмерных конструкциях можно представить в общих чертах с использованием МКЭ-моделирования следующим образом:
1. К основной конструкции добавляется трехмерный заполнитель в геометрически допустимой области.
2. Заполнитель соединяется с основной конструкцией в технологически удобных местах.
3. Назначается одинаковая во всех элементах заполнителя начальная величина модуля упругости Ег, достаточно малая по сравнению с модулем упругости основной конструкции. (В качестве "достаточной" на первых шагах разработки методики, наверное, следует понимать такую величину Ег, которая не вызовет больших изменений в НДС основной конструкции. Обсуждение этого тонкого и важного вопроса будет продолжено в последующих разделах).
4. Выполняется расчет НДС основной конструкции и заполнителя. Вычисляется и визуализируется распределение удельной потенциальной энергии в заполнителе.
Источник - "Вестник Самарского Государственного Аэрокосмического университета имени Академика С.П. Королёва", выпуск №1, печатная версия.
Полную версию статьи со всеми чертежами, формулами и приложениями см. в печатной версии журнала.