В. В. Никонов, В. Г. Шахов
Самарский государственный аэрокосмический университет
Предлагается модернизация схемы расщепления уравнений Навье-Стокса для численного метода "вихрь в ячейке". Модернизация заключается в введении в задачу малого параметра, пропорционального величине вязкости потока, что позволяет находить решение задачи в виде асимптотического ряда. Для тестирования предлагаемой схемы расщепления рассматривается двумерная задача о движении вихря Ламба-Озеена, имеющая аналитическое решение. Сравнение результатов, полученных методом «донор-акцептор» (Д-А) и модернизированным методом (МД-А), с аналитическим решением показало, что модернизированный метод является более предпочтительным при моделировании течений с малой вязкостью. Метод МД-А в отличие от Д-А сохраняет точность в широком диапазоне изменения шага интегрирования по времени.
1. Основные соотношения и алгоритм метода
В рамках метода «вихрь в ячейке» [1] уравнение Навье - Стокса для вязкого двумерного несжимаемого потока в переменных завихренность - скорость имеет вид
Вывод формул см. в печатной версии журнала.
где со - завихренность, / - время, v - кинематическая вязкость, V2 - оператор Лапласа. Здесь и далее все уравнения записаны в безразмерной форме. В численном методе «вихрь в ячейке» уравнение (1) расщепляется на подзадачи конвекции и диффузии завихренности. Ошибка такой схемы [1] имеет порядок шага по времени At. На этапе конвекции используется лагранжев подход к описанию движения жидкости
Алгоритм численного метода «вихрь в ячейке» на примере одного расчетного шага имеет следующий вид:
- поле завихренности берется из начальных условий задачи или с предыдущего расчетного шага;
- расчет диффузии завихренности проводится методом «донор-акцептор» Д-А или модифицированным методом Д-А (МД-А);
- выполняется подготовка граничных условий для решения уравнения (6);
- определяется функция тока с помощью БПФ из уравнения Пуассона (6);
- рассчитывается поле скорости с помощью конечно-разностных формул;
- решается система ОДУ (3) методом Эйлера 1 -го порядка для каждого «вихря в ячейке»;
- перераспределяются перемещаемые вихри в ячейки расчетной сетки;
- осуществляется переход к следующему расчетному шагу.
2. Подзадача конвекции
Граничные условия для уравнения (6) находятся с помощью модификации [3] метода мультипольного разложения [2]. Данный метод заключается в разбиении зоны течения на вихревые кластеры квадратной формы, что позволяет существенно экономить машинное время. При достаточном удалении рассматриваемого кластера от точки границы расчетной области вклад в функцию тока течения находится сразу от всего вихревого кластера. Достаточно удаленным расстоянием от расчетной точки до центра кластера является расстояние, в три раза большее длины ребра кластера [2].
В противном случае вклад в функцию тока вычисляется от каждого вихря рассматриваемого кластера.
Для удобства численного моделирования двумерной задачи используется «шахматная» расчетная сетка. Вихри располагаются в центре ячеек сетки, а значения функции тока определяются в узлах этой же сетки. Соленоидальная составляющая скорости «вихря в ячейке» находится из (5) с помощью конечно-разностных формул центральной схемы.
После расчета поля скоростей течения новые координаты «вихрей в ячейках» получаются численным интегрированием системы ОДУ (3) методом Эйлера. Новое местоположение вихрей не обязательно совпадет с координатами расчетной сетки, поэтому используется процедура перераспределения их интенсивности в ячейки сетки
T(iJ)=T'(xklyl)A(xl-xk)A(yj-yl), (8)
где Л - интерполяционная функция; Г* - интенсивность перераспределяемого вихря, находящегося в произвольной точке с координатами (хк, >>;); Г - циркуляция, получаемая вихрем в ячейке (i,J) от перераспределяемого вихря. Регулярность поля завихренности необходима для подшага диффузии и расчета скорости с использованием быстрого преобразования Фурье. При этом количество вихревых частиц не растет с течением времени, как в бессеточном методе. В работах [5], [6], [7] дается обзор различных интерполяционных формул, применяемых в вихревых методах. В качестве интерполяционных функций Л используются В-сплайны различных степеней. Ошибка такой интерполяции уменьшается с ростом степени используемого полинома. В данной работе используется так называемая формула М4' [6], которая является формулой третьего порядка.
В работах [5], [6], [7] было показано, что схемы Эверетта и А/4' имеют наименьшую «численную диффузию» и сохраняют моменты завихренности. Формула (9) вносит наименьшую «численную диффузию» в численный метод [6], [7], и по этой причине она используется.
Для проверки алгоритма подшага конвекции рассматривается задача о диффузии двумерного вихря Ламба-Озеена, которая для вихревого поля имеет аналитическое решение:
Вывод формул см. в печатной версии журнала.
Список литературы
1. Basin М., Kornev N. Beruecksichtigung der R eibung in der Wirbelmethode, ZAMM, 1998, vol. 78, N 5. Pp. 335-344.
2. Greengard L., Rokhlin V. A Fast Algorithm for Particle Simulations, J. Comput. Physics, 1987, vol. 73. Pp. 325-348.
3. Kornev N., Leder A., Mazaev K. Comparison of Two Fast Algorithms for the Calculation of Flow Velocities Induced by a Three-Dimensional Vortex Field, Schiffbauforschung, 2001, vol. 40, N1. Pp. 47-55.
4. Taranov A., Kornev N., Leder A. Development of the Computational Vortex Method for Calculation of Two-Dimensional Ship Sections with Flow Separation, Schiffbauforschung, 2000, vol. 39, N 2. Pp. 95-105.
5. Nikonov V, Kornev N., Leder A. The Ratio between Spatial and Time Resolutions for the Diffusion Substep in 2D Computational Vortex Methods, Schiffbauforschung, 2002, vol. 41, N 3/4. Pp. 5-12.
6. Cottet G.-H., Koumoutsakos P.D. Vortex Method: Theory and Practice, Cambridge University Press, 2000. - 320 p.
7. Monaghan JJ. Extrapolating B-Splines for Interpolation, J. Comput. Phys., 1985, vol. 60. Pp. 253-262.
8. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. -400 с.
Источник - "Вестник Самарского Государственного Аэрокосмического университета имени Академика С.П. Королёва", выпуск №1, печатная версия.
Полную версию статьи со всеми чертежами, формулами и приложениями см. в печатной версии журнала.